Sugestão de atividade: progressão aritmética com personagens da saga Mario Bros.

Lançar mão do mundo digital é uma opção para ensinar de modo mais conectado com a cabeça da meninada. O universo dos jogos eletrônicos e de seus personagens, heróis e cenários pode ajudar os alunos a lidar melhor e de forma mais interessada com as ideias matemáticas. Nesta Sugestão de Atividade sobre Progressão Aritmética, a turma tem de resolver desafios envolvendo o game do Mario Bros. 

NOVA ESCOLA Box conversou com o professor Greiton Toledo de Azevedo, doutorando em Educação Matemática pelo Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual de São Paulo (Unesp), sobre como encaminhar a aula de forma que os alunos lidem com a temática de maneira leve e sem se prender às terminologias – que serão exploradas no Ensino Médio.

A aula original de Greiton pode ser acessada aqui.

ATIVIDADE: PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM MARIO BROS. 

Convide a garotada para resolver desafios com os personagens e elaborar a ideia de progressão aritmética

Indicado para: Turmas do 8º ano

Na BNCC: EF08MA10 e EF08MA11

PONTO DE ATENÇÃO: Não é necessário, nos anos finais do Ensino Fundamental, conceitualizar termo, razão, regularidade e progressão aritmética. Neste momento, o mais importante é que os alunos possam usar estratégias próprias para quantificar os elementos, refletindo sobre a ligação entre a geometria e a aritmética.

PASSO A PASSO

1 - Apresente um desafio para a turma: Construir, sobre as águas, uma ponte composta de quatro torres para salvar os Yoshis presos no castelo. Para isso, é preciso entender a lógica estrutural da construção: a torre seguinte é sempre uma camada – de três bloquinhos cada – maior do que a anterior, ou seja, a sequência é uma progressão crescente em que cada torre é o termo de uma progressão aritmética (PA).

É esperado, então, que os alunos usem estratégias diferentes para chegar à quantidade de bloquinhos em cada uma das quatro torres, como contar as unidades ou fazer o cálculo da área. Dessa forma, eles devem observar que o aumento do número de blocos ocorre de três em três. Ou seja, essa é a regularidade da sequência, pois é o que se repete a cada nova torre.

Assim, é desejável que, juntos, professor e estudantes alcancem o seguinte: 

Torre 1: a1 = 3 x 4 = 12 (uma torre com 4 camadas de 3 bloquinhos cada, totalizando 12 bloquinhos)
Torre 2: a2 = 3 x 5 = 15
Torre 3: a3 = 3 x 6 = 18
Torre 4: a4 = 3 x 7 = 21

2 - Desafie os alunos novamente. A missão agora é resgatar o Yoshi lilás, destruindo os bloquinhos que o prendem dentro do buraco. Essa destruição deve obedecer a uma regularidade. Para isso, é necessário compreender que se trata de uma PA decrescente (de razão negativa). Ou seja, a cada explosão elimina-se a mesma quantidade de blocos. Considerando que a primeira torre tem 24 blocos, quantos blocos precisam ser eliminados por vez? E quantas explosões são necessárias para destruir o obstáculo por completo? A turma tem de escrever quantos blocos restam a cada explosão (ou seja, o valor de cada termo da PA): 

a1 = 24 (número total de blocos inicial)
a2 = 20
a3 = 16
a4 = 12
a5 = 8
a6 = 4
a7 = 0

É esperado que os alunos observem que há uma regularidade no processo de tirar os blocos (de 4 em 4) e que são necessárias 7 explosões para libertar o Yoshi. Ou seja, a PA tem 7 termos. Para isso, a classe pode lançar mão de estratégias próprias, como ir tirando de 4 em 4 (já que essa é a composição de cada camada) ou levantar o número total de blocos (que é 24) e pensar quem seriam seus divisores possíveis (24 é divisível por 4, ficando 7).

Os alunos podem sugerir outros divisores (como 2, 6, 8 e 12). O importante é conferir com eles se o resultado da divisão faz surgir uma sequência que vai diminuindo o número de blocos de forma constante até chegar a zero. Vale reforçar que, nesse caso, quando o divisor muda (a razão), também muda o tamanho da sequência (a quantidade de termos). 

Para que os estudantes reflitam ainda mais sobre o conceito de regularidade em PA, vale lançar alguns questionamentos: por que o Yoshi destrói o obstáculo de 4 em 4 blocos? O que acontece se ele quebrar os blocos de 3 em 3 ou de 5 em 5? Quantos sobram no final? A ideia é de que a meninada compreenda que usando a razão -4 não sobram blocos no fim. Mas que mudando o número pode ser que fiquem 1, 2 ou 3 blocos – e isso não pode acontecer no jogo. Se assim for, não temos uma progressão aritmética, já que para ser uma PA é preciso haver regularidade.

3 - Conte para a turma que existem 4 torres com 10 moedas cada uma e explique que a razão dessa PA é zero. Os alunos devem refletir sobre a regularidade presente.

A ideia é de que eles compreendam que se todos os termos são iguais, quer dizer que não há moedas a mais ou a menos em nenhum deles. Como se trata de uma PA (ou seja, há um número somado a cada termo e esse número é constante), quer dizer que o valor somado é zero (a razão é zero, r = 0). Eles podem chegar a essa conclusão sem usar a fórmula da PA: apenas fazendo um termo menos o seu antecessor para chegar à razão, exemplo: a2 - a1 = 0: 

a1 = 10

a2 = a1 + 1r
a2 = 10 + 1r
10 = 10 +1r
1r = 10 - 10
1r = 0

a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
Se a1 = a2 = a3 = a4, quer dizer que r = 0

4 - Sistematização - Para sistematizar o que foi visto até agora, formalize o que é o termo geral de uma PA. Para tal, proponha a reflexão de que um termo tem sempre o valor de uma razão a mais que o anterior (dependendo se a razão for positiva ou negativa, esse valor é maior ou menor). 

a1 = a1 = 0r
a2 = a1 + 1r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
a5 = a1 + 4r
Então: an = a1 + (n-1)r, sendo an = termo geral

Lembre-se de que no Ensino Fundamental 2, o ideal é trabalhar com as ideias intuitivas dos alunos para chegar à sistematização algébrica, e não se preocupar que eles apliquem a fórmula para resolução de problemas envolvendo PA, o que será tratado no Ensino Médio.  

5 - Avaliação - Para avaliar a turma, proponha uma sequência de 3 termos em forma de T e dê os valores de cada um deles: a1 = 5, a2 = 9 e a3 = 13. Em seguida, apresente as seguintes atividades:

Desafio 1

Deduza a razão e, em seguida, responda quantos termos tem a100.

a2 = a1 + 1r
9 = 5 + 1r
r = 4

a3 = a1 + 2r
13 = 5 + 2r
2r = 8
r = 8/2
r = 4

Aplicando os conhecimentos das etapas anteriores, é possível chegar ao valor da razão. Para chegar ao a100, os alunos podem valer-se de estratégias diversas, como ir somando de 4 em 4, já que esta é a razão, ou usar a fórmula que eles deduziram na etapa anterior: an = a1 + (n-1)r

Com isso:
a100 = 5 + (100 - 1).4
a100 = 5 + (99).4
a100 = 5 + 396
a100 = 401

Assim, existem 401 bloquinhos no termo a100.

Lembre-se de que esse é o primeiro contato dos alunos com essa fórmula, então, se eles não trabalharem com a aplicação dela logo de cara, não tem problema. Vale problematizar aos poucos, para que, com o tempo, eles lancem mão da generalização com mais tranquilidade. 

Desafio 2

Há somente números positivos nessa sequência? Todos os números são ímpares ou há pares também? No a100, quantos blocos estão na horizontal e quantos ficarão na vertical? 

Ao observar a sequência de termos da PA, é possível ver uma regularidade em relação à estrutura: na horizontal sempre há 1 bloco a mais que na vertical. Dessa forma, é possível concluir que no a100 existem 201 blocos na horizontal e 200 na vertical.